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Sistemas de numeração: Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal

69 Comentários

Na semana passada um leitor lançou-me o desafio para escrever uns artigos sobre os sistema de representação numérica (sistemas de numeração). Nos sistemas digitais/computação é frequente recorrer-se a diferentes sistemas de numeração para proceder à representação da informação digital. O sistema de numeração decimal (ou na base 10), que usa dez algarismos é sem duvida o sistema mais utilizado por seres humanos e o sistema binário é o mais frequente  no mundo da computação, apenas são utilizados os valores 0 e 1 (pois facilita a representação de tensões), no entanto, existem outros como o sistema de numeração Octal, Hexadecimal, entre outros.  Para iniciar esta rubrica, hoje vamos conhecer as principais diferenças entre os sistemas de numeração Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal.

numeracao_1

A conversão entre sistemas numéricos é realizada com base em regras. A quantidade de algarismos disponíveis num sistema de numeração designa-se de base, sendo que a representação numérica mais utilizada é a notação posicional (valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que este se encontra, num conjunto de símbolos).

Alguns sistemas de numeração
  • Decimal (base 10)
  • Binário (base 2)
  • Octal (base 8)
  • Hexadecimal (base 16)
Sistemas Decimal

Tal como referido, o sistema Decimal é o sistema mais utilizado pelos seres humanos, normalmente para indicar quantidades, e é constituído por dez algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

No sistema decimal cada algarismo tem um valor posicional, ou seja, cada algarismo tem um peso de acordo com a sua posição na representação do valor.

decimal

Sistema Binário

O sistema binário é o sistema mais utilizado por máquinas, uma vez que os sistemas digitais trabalham internamente com dois estados (ligado/desligado, verdadeiro/falso, aberto/fechado). O sistema binário utiliza os símbolos: 0, 1, sendo cada símbolo designado por bit (binary digit).

Sistema Octal

O sistema octal é um sistema de numeração de base 8, ou seja, recorre a 8 símbolos (0,1,2,3,4,5,6,7) para a representação de um determinado valor. O sistema octal foi muito utilizado no mundo da computação, como uma alternativa mais compacta do sistema binário, na programação em linguagem de máquina. Actualmente, o sistema hexadecimal é um dos  mais utilizado como alternativa viável ao sistema binário.

octal

Sistema Hexadecimal

Sistema de numeração muito utilizado na programação de microprocessadores, especialmente nos equipamentos de estudo e sistemas de desenvolvimento.  Utiliza os símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as letras A,B,C,D,E,F. Equivalências:A=10,B=11,C=12,D=13,E=14eF=15.

hexa

Tabela de conversão de bases

tabela

Num próximo artigo iremos ensinar a proceder à conversão entre sistemas de numeração. Desde já convidamos os leitores que estejam interessados em colaborar com esta rubrica, que enviem um e-mail para o nosso endereço geral.

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Autor: Pedro Pinto
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69

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  1. Avatar de Ikari-pt
    Ikari-pt

    Já agora adicionavam ai dois muito importante, o gray e o duodecimal

    Responder
    1. Avatar de PT
      PT

      Ai sim?? que eu saiba os mais importante e os ensinados nas escolas e faculdades sao aqueles 4!!

      Responder
      1. Avatar de Ikari-pt
        Ikari-pt

        Pois, em faculdades, aquela malta que raramente pena num equipamento, vais a uma escola técnica, e tens la coisas do tipo Encoders, usados em todo mundo, que qualquer técnico de electrónica sabe o que é e depois tens os Engenheiros de electrónica, que podem ou não saber, mas la esta, não consta os ensinados…

        Quanto ao duodécimo, foi adoptado por muitos países como medida monetária por exemplo, valia a pena mencionar isso.

        Responder
      2. Avatar de João Sousa
        João Sousa

        é verdade eu ando num curso profissional e os que aprendi foram os quatro que estão mencionados neste artigo

        Responder
    2. Avatar de Telmo
      Telmo

      Desculpa lá, mas tenho de discordar. O duodecimal quase não é utilizado. E o código de Gray há já muito tempo que caiu em decadência, o que não é de estranhar, dado que foi inventado com o intuito de ser utilizada na era pré-transístores (sim, aquelas válvulas velhinhas).

      Responder
      1. Avatar de joao
        joao

        errado. O codigo Gray ainda é muito util em sistemas de informação porque só um bit varia entre numeros adjacentes.

        Responder
      2. Avatar de Ikari-pt
        Ikari-pt

        parvoíce, tens um bom rato scroll de precisão? então tem um enconder gray, e garanto que não funciona com válvulas.

        Responder
    3. Avatar de iMatos
      iMatos

      Base 60(hora) também é bastante utilizado… quem não utiliza, raramente chega a tempo(horas)!

      Responder
    4. Avatar de Anónimo
      Anónimo

      O “grey” é um código, não um sistema de numeração.
      O duodecimal é de facto usado noutras áreas, contudo relembre-se, normalmente quem escreve os artigos neste site é da área cientifica de electrónica, informática ou telecomunicações (daí aparecerem apenas os sistemas mais usados nestas áreas, o binário, o octal e o hexadecimal).

      Responder
    5. Avatar de Robilson
      Robilson

      Eu quero porque é que só estudamos a base 2,8,10,16,e nao os outros numeros para as bases como no caso de 3,5,6 entre outros numeros

      Responder
    6. Avatar de MIKAELJOKSON
      MIKAELJOKSON

      acha que consegue explicar?

      Responder
  2. Avatar de Rodrigo
    Rodrigo

    Excelente artigo!

    Responder
    1. Avatar de lohana
      lohana

      é muito interesante

      Responder
  3. Avatar de diogo
    diogo

    Saber as conversões por acaso dava jeito 😀
    Ainda só sei fazer de binário para decimal.
    Que venha daí esse artigo

    Responder
    1. Avatar de Kazzar
      Kazzar

      o processo é em tudo análogo para todos os sistemas: divisão sucessiva pela base do sistema até o quociente ser 0.
      por exemplo o n=238 e sist. base 5 (0,1,2,3,4)
      238/5 > q=47 r=3 (q=quociente/r=resto)
      47/5 > q=9 r=2
      9/5 > q=1 r=4
      1/5 > q=0 r=1
      238 em base 5 é 1423.
      para decimal novamente: soma das bases elevadas ao índice do dígito vezes o dígito.
      no caso específico 1423 em decimal é: 5^0*3 + 5^1*2 + 5^2*4 + 5^3*1 =238

      *** muito bom artigo Pedro.

      Responder
      1. Avatar de Pedro Pinto
        Pedro Pinto

        Thanks 🙂 É apenas o começo
        Abraço

        Responder
      2. Avatar de LUIZ CARLOS DA SILVA XAVIER
        LUIZ CARLOS DA SILVA XAVIER

        Muito bom! Você tem um ótimo poder de síntese.

        Responder
  4. Avatar de João Simões
    João Simões

    Ahhhhh, bons tempos!

    Ainda me lembro de um exame ou outro em que tínhamos de converter decimal para estas numerações bem como fazer operações básicas com binários (somas, subtracções, multiplicações e divisões).

    Ainda me lembro da minha primeira função de divisão de binários num Micro-controlador. Um while a ir subtraindo! Côsa má eficienti! 😛
    É fantástico a noção que uma pessoa agora tem de que há uns anos atrás era bem pixote! lol

    Responder
  5. Avatar de Nuno Catarino
    Nuno Catarino

    Viva Pedro

    De facto este artigo para é muito elucidativo sobre as varias numerações existentes no mundo digital e não só. No entanto tenho alguma dificuldade em “aceitar” a palavra tensão representar o 1 e o 0 na parte digital. Tudo bem que se trata de 0 volts ou 5 volts, no entanto é o 0 e o 1 representa mesmo on e off, ou ligado e desligado, para os processadores e afins. A meu ver seria mais correto representa-los por estados ou interruptor e não por tensão.

    Muito obrigado

    Nuno Catarino

    Responder
    1. Avatar de Carlos Carvalho
      Carlos Carvalho

      Nuno ,

      Também partilho dessa dúvida .

      Cumprimentos

      Carlos Carvalho

      Responder
    2. Avatar de Nuno Catarino
      Nuno Catarino

      PS – A minha formação é eletrónica e computadores.

      Responder
      1. Avatar de Pedro Pinto
        Pedro Pinto

        A minha formação é Informática 🙂
        Ora bem, quando refiro a questão da tensão refiro-me à presença ou não de sinal. No caso das redes cabaladas, a representação do estado 0 ou 1 é feita à custa da ausência/presença de tensão. No caso da fibra óptica já não é assim. Mas gosto do termo “estados”, pelo facto de ser mais genérico. Thanks

        Responder
    3. Avatar de pixar
      pixar

      Boas,

      compreeendo o ponto de vista das tensões, mas a verdade é que elas existem. Claro que cada tensão pretende representar um estado (seja ela lógica positiva ou negativa) e, como disse o Pedro, no caso das fibras óticas já naõ podemos falar de tensões. Mas mesmo assim o termo tensão não está mal, quando muito incompleto.

      Cumps

      Responder
  6. Avatar de heee
    heee

    Por acaso vou ter frequência amanhã a sistemas digitais xD

    Responder
  7. Avatar de Sergio
    Sergio

    2+2=11

    Responder
    1. Avatar de Kazzar
      Kazzar

      desconfio… acho que é 10!
      😉

      Responder
      1. Avatar de ZéBoné
        ZéBoné

        2+2 = 100

        Responder
      2. Avatar de Sergio
        Sergio

        Nao, é mesmo 11

        É uma charada matemática muito conhecida

        E tem tudo a ver com o tema

        Responder
        1. Avatar de Sergio
          Sergio

          Para quem é experiente com bases é muito fácil. Mas admito que nao é directa.

          Responder
          1. Avatar de Kazzar
            Kazzar

            eu sei Sérgio, conheço perfeitamente essa piada até porque era praticada na universidade, especificamente no meu curso (matemática)… por razões evidentes…

    2. Avatar de Ikari-pt
      Ikari-pt

      ??? explica la isso, nao estou a ver como, já 1+1=10, agora 2+2 seria = 4

      Responder
      1. Avatar de Sergio
        Sergio

        Fica o desafio. Se ninguém responder eu respondo

        É um bom exercício sobre bases.

        Dou uma grande pista. Todas as parcelas estão na mesma base

        Responder
        1. Avatar de Ikari-pt
          Ikari-pt

          pois, tinha de ser, se não não fazia sentido, sendo assim ja sei, mas é o sistema mais parvo que se lembraram, em termos de electrónica nao tem razão de existir, penso que o ultimo “coiso” que o usou foi nos anos 70 correcto?

          Responder
      2. Avatar de Kazzar
        Kazzar

        vê o exemplo que dei mais acima.

        4 em base 2
        4/2 > q=2 r=0 | 2/2 > q=1 r=0 | 1/2 > q=0 r=1
        logo 100

        4 em base 3
        4/3 > q=1 r=1 | 1/3 > 1=0 r=1
        logo 11

        4 em base 4
        4/4 > q=1 r=0 | 1/4 > q=0 r=1
        logo 10

        4 em base 5… naturalmente é 4. assim como em base 6, 7, 8, etc…

        Responder
        1. Avatar de Sergio
          Sergio

          Kazar, nao reparei no emotion. Mas tb nao levas a mal

          Serviu para algumas pessoas perceberem melhor o conceito de bases

          Responder
          1. Avatar de Kazzar
            Kazzar

            nada disso, Sérgio… na boa. não levei nada mesmo… era só isso mesmo que queria dizer: era tipo uma “private joke” dos cursos com muitas matemáticas: matemática (evidente!), engenharias, etc…

  8. Avatar de José Baltazar Regueiras
    José Baltazar Regueiras

    Olá boa tarde.
    Ante de mais o meu muito obrigado a quem se digna informar/formar, gratuitamente.
    Um Bem haja aos autores!

    Sou um programador(zeco) de trazer por casa, que não tendo formação académica superior, gosta e dá elevado apreço a iniciativas que proponham a saida da ignorância.

    Cumprimentos
    José B. Regueiras

    Responder
    1. Avatar de Adélio
      Adélio

      Olá José B. Regueiras
      És bem modesto. Quem não te conhece até engole essa de ” que não tendo formação académica superior”… Para que todos saibam tu és Eng. Electrotecnico e, ainda por cima, com um doutoramento na mesma área.
      Sabias que o excesso de modéstia pode ser confundido com vaidade?
      Eu, conhecendo-te, sei que és um indivíduo sem vaidades, daí eu inferir que essa tua humildade serve de rastilho para espevitar a malta a continuar a partilhar informação… Entendo.
      Um bem haja.
      Um Abraço
      Adélio.

      Responder
  9. Avatar de Nuno Pinto
    Nuno Pinto

    Excelente artigo.
    Este tipo de artigos deveria ser mais visto pelos diversos websites ligados à informática, para que os utilizadores saibam o básico do funcionamento de um computador. Hoje em dia as coisas estão tão mais facilitadas que se podem tornar autenticas dores de cabeça quando algo corre mal, tudo devido à falta de conhecimento.
    Se me permitem uma sugestão, acho que seria de extrema importância explicar DMAs, IRQs, e Portas. Demonstrar e comprar o antes e o agora.

    Responder
  10. Avatar de Jorge
    Jorge

    na base ternaria 2+2=11

    Responder
  11. Avatar de joaodias@gmail.com
    joaodias@gmail.com

    boas

    alguem sabe algum distena de numeração em que os intervalos de numeros apenas variem entre 0 e 255

    cumprimentos

    Responder
    1. Avatar de Ikari-pt
      Ikari-pt

      Na pratica nao existe nenhum, o que existe é agrupamentos de bits, como por exemplo 8.
      8 bits é um byte, com oito bits o numero maximo é 11111111 (8 “1”)
      que é 255 em decimal

      Responder
    2. Avatar de Sergio
      Sergio

      se percebi bem, tens o sistema base 256.
      Podes ter a base que quiseres. Se quiseres ter a base 1048943453, podes ter.

      As bases são uma abstração matemática. Os sistemas electronicos/informaticos apenas fazem uso delas. Já aqui foi falado na base 20 ou na base 60 como outras utilizações. No quotidiano optamos pela base 10, mas poderiamos ter optado, por exemplo, pela base 9. Os casos da base 20 ou 60 foram adoptados no passado por outros povos

      Responder
      1. Avatar de NT
        NT

        Antes de mais excelente artigo.

        Também sou da área da informática e, se bem que para a maioria dos profissionais desta área cada vez mais se use altos níveis, abstraindo-nos um poucos das bases, podemos observar vários sistemas usados no quotidiano, como foi falado antes.
        Não me vou debruçar sobre os que já foram explorados no artigo.

        exemplos:

        Sempre que se trabalha com datas e horas, estamos a trabalhar com vários sistemas. Basta pensar que para os minutos, segundos são base 60, combinados com base 24 (ou 12 nos relógios de ponteiros) para horas… base 12 para meses… base decimal para anos etc.. estamos a usar conversões no dia a dia mesmo sem pensarmos…

        Podemos ainda pensar em geometria.
        O estudo do circulo ou dos ângulos, por exemplo, é um excelente excelente exemplo de uso de diferentes exemplos se bases.
        Temos a divisão destes em 360, em 12, em 24, em 2pi(que nem tem valor inteiro exacto em decimal) etc.
        Cada um destes foi usado, ao longo da história, por diversos povos porque apresenta vantagens e desvantagens em determinados cálculos matemáticos.

        Se pensarmos em termos financeiros, temos uma infinidade de de sistemas.

        Se falarem com um merceeiro do tempo dos nossos avós ele vai lembrar-se de dúzias,doze dúzias , quarteirões (25), grosas (doze dúzias), arrobas, quintais etc.

        Como podem ver acaba por existir no dia a dia exemplos de sistemas diversos, que usamos sem pensar, que usam bases diversas as vezes muito complexas.

        Responder
  12. Avatar de Steiger
    Steiger

    Isto é assim meus caros:
    Existem 10 tipos de pessoas as que sabem binário e as que não sabem…

    Responder
  13. Avatar de Helder
    Helder

    Alguém sabe como fazer a conversão seguinte na maquina Texas TI – 84plus ???

    binário – octal
    decimal – binário
    decimal – hexadecimal

    Responder
    1. Avatar de painilson da costa
      painilson da costa

      conversão entre binário e octal, um digito corresponde a 3 bites. Dado que cada digito octal pode ser representada por um numero binário de três bytes.
      Para convertemos ou multiplicar devemos ter em conta cada bite e o seu peso…

      Responder
  14. Avatar de nathalie
    nathalie

    qual é o nome dos sinbulos usados para escrever os numeros no sistema de numeraçao desimal

    Responder
    1. Avatar de Nuno Catarino
      Nuno Catarino

      ASCII

      Responder
  15. Avatar de Alexandre Andrade
    Alexandre Andrade

    Belo Material, Simples e Direto ao Assunto…Estou Copiando Este Post Para Meu Blog da Faculdade Complementando Minha Atividade. Muito Obrigado.

    Responder
  16. Avatar de João Victor Lopes Fernandes
    João Victor Lopes Fernandes

    Bom achei um bom material , usarei para passar aos meus alunos pois e explicativo e interessante.

    Responder
  17. Avatar de larisa
    larisa

    Excelente o artigo!
    Mas, tenho uma pergunta..
    Por quê esses quatro são os mais importantes?
    Desde já agradeço.

    Responder
  18. Avatar de aluisio de assunçao aragao
    aluisio de assunçao aragao

    eu gostaria de saber ate quanto….ate quanto e como? vai os numeros hexadecima da base 16 depois de a,b,c,d,e,f

    Responder
  19. Avatar de Henrique
    Henrique

    Estou escutando La Follia de Vivaldi e pensei o seguinte: A música utiliza um sistema octal. Os 8 níveis são: Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si, Pausa. Assim, as sinfonias são, na verdade, um meio de transmitir mensagens codificadas em octal. Uma nota (ou pausa) muito longa pode ser interpretada como uma sequência de dois símbolos iguais.
    kkkkk. Isso é o que acontece quando se estuda eletronica digital acompanhado de um bom vinho.

    Responder
    1. Avatar de Saulo Quevedo
      Saulo Quevedo

      Gostei do que disse, veja o que postei logo abaixo, parabéns!

      Responder
  20. Avatar de waldemar sebastião
    waldemar sebastião

    é fixe

    Responder
  21. Avatar de Eurico Sebastião
    Eurico Sebastião

    olá malta gostei do artigo sobre sistemas de numeração foi muito explícito. gostaria ver as regras de conversão

    Responder
  22. Avatar de António Fernando
    António Fernando

    É um artigo muito interessante gostei continuem assim!

    Responder
  23. Avatar de Rodrigo Oliveira
    Rodrigo Oliveira

    Bom dia,

    Voltei a estudar recente depois de 12 anos,estou tendo dificuldade eu absorve o conhecimentos desse artigo,
    Alguem posso me ajudar irei agradecer muito nao quero que resolver a questao e sim me explicar uma forma mais facil de fazer o exercicio Abaixo

    Questao

    Em nossos estudos observamos que existem vários sistemas numéricos: o sistema decimal (base 10), o binário (base 2), o octal (base 8) e o hexadecimal (base 16). Sabendo-se que os computadores realizam as operações aritméticas no sistema binário resolva a seguinte equação: Y = 14410 x 1A16 + (11111112 – 10101112). O primeiro passo é converter os números da equação que não estão em binário para binário (base 2). Uma dica para converter um número hexadecimal para binário é primeiro converter para decimal e depois para binário. Os passos para as conversões de base e cálculos de multiplicação e soma deverão ser demonstrados. A subtração deverá ser realizada utilizando-se o método do complemento de 2.

    Responder
  24. Avatar de Rodrigo Oliveira
    Rodrigo Oliveira

    Bom dia Galera,

    Estou a um tempo sem estudar ,voltei recente porem ainda estou com muita dificuldade em aprender referentes a estes cálculos alguém pode me ajudar referente a questão abaixo desde já agradeço

    Responder
    1. Avatar de Rodrigo Oliveira
      Rodrigo Oliveira

      Em nossos estudos observamos que existem vários sistemas numéricos: o sistema decimal (base 10), o binário (base 2), o octal (base 8) e o hexadecimal (base 16). Sabendo-se que os computadores realizam as operações aritméticas no sistema binário resolva a seguinte equação: Y = 14410 x 1A16 + (11111112 – 10101112). O primeiro passo é converter os números da equação que não estão em binário para binário (base 2). Uma dica para converter um número hexadecimal para binário é primeiro converter para decimal e depois para binário. Os passos para as conversões de base e cálculos de multiplicação e soma deverão ser demonstrados. A subtração deverá ser realizada utilizando-se o método do complemento de 2.

      Responder
  25. Avatar de silvio
    silvio

    Pelos nossos estudos observamos que os sistemas numéricos são a base para a computação. Temos o sistema decimal (base 10), o binário (base 2), o octal (base 8) e o hexadecimal (base 16). Imaginando que você é um computador e que os computadores realizam as operações aritméticas somente no sistema binário resolva a seguinte equação:

    X = (15 base 10 + 1D base 16) x 14 base 8

    O resultado final da equação deverá ser demonstrado em binário (base 2). Os passos para as conversões de base e cálculos de multiplicação e soma deverão ser demonstrados. ALGUÉM PODE ME AJUDAR COMO RESOLVER

    Responder
  26. Avatar de RR
    RR

    Onde está o artigo seguinte?

    Responder
  27. Avatar de Saulo Quevedo
    Saulo Quevedo

    Olá..
    Hoje acordei pensando nos números octais e acho que eles podem se prestar para manipulação do espectro eletromagnético, expressar emoções e também como interface para protocolos de informações entre periféricos de controle tipo: Potenciômetros, botões, display de celular e computadores e máquinas em geral, basta apenas direcionar a programação para isso. Pode ser um ótimo auxílio para a tecnologia.

    Responder
  28. Avatar de Adelino Mendes
    Adelino Mendes

    Porque é que so estuda a base 2, base 8, base 10 e 16, e não base como no caso de 3, 5, 6 entre outros números?

    Responder
  29. Avatar de Salomao
    Salomao

    Muito grato pelo esclarecimento e estou pronto para proxima publicacao

    Responder
    1. Avatar de Salomao
      Salomao

      (que enviem um e-mail para o nosso endereço geral).podem-me facultar vosso endereco geral?

      Responder
  30. Avatar de SILVIO MONTEIRO DA SILVA
    SILVIO MONTEIRO DA SILVA

    O gray é a unidade no Sistema Internacional de Unidades de dose absorvida. Ele representa a quantidade de energia de radiação ionizante absorvida por unidade de massa, ou seja, um joule de radiação absorvida por um quilograma de matéria. É uma quantidade física, e não leva em consideração qualquer contexto biológico

    Responder
  31. Avatar de MIKAELJOKSON
    MIKAELJOKSON

    uhmmmm tava a tentar fazer um trabalho mt interessante só que nao percebi nada

    Responder
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